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| 編輯推薦： |
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《泛函分析》可作为泛函分析的一本入门教材。 可供高等院校数学系学生用作教材，也可供数学教学和科研人员参考。
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| 內容簡介： |
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《泛函分析》是作者多年来在南开大学数学系讲授泛函分析课程的基础上写成的。 《泛函分析》共六章：第一章，距离空间与拓扑空间；第二章，赋范线性空间；第三章，有界线性算子；第四章，Hilbert空间；第五章，拓扑线性空间；第六章，Banach代数。 每章末附有一定量的习题，书后有部分习题解答。
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| 目錄：
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"丛书第三版序
丛书第一版序
第一章距离空间与拓扑空间1
§1。1距离空间的基本概念1
§1。2距离空间中的点集7
§1。3完备距离空间11
§1。4压缩映射原理16
§1。5拓扑空间的基本概念20
§1。6紧性27
§1。7距离空间的紧性29
习题一33
第二章赋范线性空间36
§2。1赋范空间的基本概念36
§2。2空间Lpp≥142
§2。3赋范空间进一步的性质48
§2。4有穷维赋范空间53
习题二55
第三章有界线性算子58
§3。1有界线性算子与有界线性泛函58
§3。2BanachSteinhaus定理及其某些应用64
§3。3开映射定理与闭图像定理69
§3。4HahnBanach定理及其推论77
§3。5某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式83
§3。6自反性、弱收敛90
§3。7紧算子96
习题三100
第四章Hilbert空间104
§4。1内积空间的基本概念、例104
§4。2正交性、正交系110
§4。3Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间119
习题四123
第五章拓扑线性空间125
§5。1拓扑线性空间的基本性质125
§5。2半范数、局部凸空间135
§5。3弱拓扑142
习题五151
第六章Banach代数153
§6。1定义与例153
§6。2正则点与谱155
§6。3极大理想与商代数158
§6。4交换Banach代数的基本定理160
习题六168
参考文献169
部分习题解答170
后记214"
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| 內容試閱：
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"§1。1距离空间的基本概念
第一章距离空间与拓扑空间
§1。1距离空间的基本概念
一、 定义与例
极限运算是数学分析中最重要的运算之一，我们来回忆分析中的极限概念:{xn}是一个实数列，x是一个实数，如果对任意给定的εgt;0，存在自然数N，当ngt;N时，|xn-x|lt;ε，我们就说当n→∞时，{xn}以x为极限。 在上面的定义中，|xn-x|表示直线 R上的点xn与点x之间的“距离”，因此它可以重新叙述为:对任意给定的εgt;0，存在自然数N，当ngt;N时，xn与x之间的“距离”小于ε。 类似地，平面R2上的点列xn=ξn， ηn，当n→∞时以点x=ξ，η为极限可以定义为:对于充分大的自然数n，点xn与点x的“距离”可以任意小，不过这里点xn=ξn， ηn与点x=ξ，η之间的距离为ξn-ξ2+ηn-η2。
从上面的例子中可以看出，不论是 R中的点还是R2中的点，甚至任意集合中的点，只要在其中定义了距离，我们就可以用它来衡量两点的接近程度，就可以在其中定义极限。 事实上，在分析中当我们考虑用多项式序列一致逼近区间[a，b]上的连续函数时，就曾用max0≤t≤1|pt-xt|来表示多项式pt与函数xt之间的“距离”。 我们把“距离”最基本的性质抽象化就得到距离空间的概念。
定义1。1。1设X是任一非空集，对X中任意两点x，y有一实数dx，y与之对应且满足:
1 dx，y≥0；且dx，y=0，当且仅当x=y；
2 dy，x=dx，y对称性；
3 dx，y≤dx，z+dz，y三角形不等式。
称dx，y为X中的一个距离，定义了距离d的集X称为一个距离空间，记为X，d，在不引起混乱的情形下简记为X。
下面给出距离空间的一些例子，其中有些在分析中起着很重要的作用。
例1。1。1设X是n元实数组全体，定义
其中，x=ξ1，ξ2， ，ξn，y=η1，η2， ，ηn。
我们证明X，d是一个距离空间，为此我们需要验证d满足距离的三条公理。 1，2显然成立，关键是证明三角形不等式成立。 我们先证明以下Cauchy不等式:对任意实数ak，bkk=1， ，n，我们有
事实上，任取实数λ，则
上面等式左端是λ的一个二次三项式，于是它的判别式不大于0，即Cauchy不等式成立。
现在证明三角形不等式成立，由Cauchy不等式，得
设x=ξ1，ξ2， ，ξn，y=η1，η2， ，ηn，z=ζ1，ζ2， ，ζn是任意三点，在上面不等式中令ak=ξk-ζk， bk=ζk-ηk， 则nk=1ξk-ηk212≤nk=1ξk-ζk212+nk=1ζk-ηk212，即dx，y≤dx，z+dz，y。
所以X，d是一个距离空间，以后把这个空间简记为Rn，本节开头提到的R1，R2都是Rn的特殊情形。
例1。1。2考虑区间[a，b]上所有连续函数集，设xt，yt是[a，b]上任意两个连续函数，定义
dx，y=maxa≤t≤b|xt-yt|，
由于xt-yt也是[a，b]上的连续函数，因此有最大值。 距离公理1，2显然成立。 设xt，yt，zt是[a，b]上任意三个连续函数，则t∈[a，b]，
|xt-yt|≤|xt-zt|+|zt-yt|
[a，b]上的连续函数全体赋以上述距离d是一个距离空间，记它为C[a，b]。
例1。1。3空间s。
考虑实数列{ξk}的全体。 设x={ξk}， y={ηk}是两个实数列，定义上式右边的12k是一个收敛因子，保证级数收敛，距离公理的1，2
显然成立，为证三角形不等式，考虑0，∞上的函数
易见ψ′t=11+t2gt;0，所以ψt是单增的。 由此，设x={ξk}， y={ηk}，z={ζk}。 由于
则有
在上不等式两边乘12k并求和，则得这个距离空间记为s。
例1。1。4空间S。
与例1。1。3类似，设E-R是一个Lebesgue可测集，0me∞，考虑e上几乎处处有穷的可测函数全体，其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元。 定义="" dx，y="∫E|xt-yt|1+|xt-yt|dt。" 与例1。1。3的证明类似，这是一个距离空间，把这个空间记为s。="" 通过以上几个例子我们看到，为了验证一个赋以函数d的非空集是一个距离空间，只需证明d满足距离的三条公理，通常比较困难的是证明三角形不等式。="" 一个距离空间可以是任意一个非空集，只要其中定义了满足距离三条公理的函数d即可。="" 事实上，任意非空集都可以赋以一个距离使其成为一个距离空间。="" 例1。1。5离散空间d。="" 设x是任一非空集，在x中定义d如下:="" x="y，1，" x≠y。="" 不难验证d是一个距离，从而x，d是一个距离空间，称这个空间为离散空间，用d表示。="" 这样看来我们可以随意地定义距离。="" 特别地，距离不是惟一的，既使同一集也可以引进不同的距离，从而得到不同的距离空间。="" 例如在[a，b]区间上所有连续函数集中，如果我们定义="" 不难验证d1是一个距离，于是我们得到一个新的距离空间，我们认为这个空间与例1。1。2中的空间c[a，b]是两个不同的距离空间。="" 实际上，距离的定义是任意的，但是在每一个具体场合下，选择这样或那样的距离总是依据所研究的极限过程的需要引进的，关于这一点下面我们还要继续讨论。="" 二、="" 收敛性="" 在距离空间中，我们可以像在数学分析中一样定义极限的概念。="" 定义1。1。2设{xn}是距离空间x，d中的一个点列，x0是x中一点，如果当n→∞时，dxn，x0→0，则称当n→∞时，{xn}以x0为极限，或当n→∞时，{xn}收敛于x0。="" 记为xn→x0n→∞，或limn→∞xn="x0。" 下面我们证明有关极限的两个简单性质。="" 定理1。1。1设{xn}是距离空间x中的收敛点列，则:="" 1="" {xn}的极限是惟一的；="" 2="" 如果x0是{xn}的极限，那么{xn}的任一子列{xnk}必收敛且以x0为极限。="" 证1="" 设xn→x0，xn→y0n→∞，则对ε=""0，存在自然数N，当ngt;N时，
dxn，x0lt;ε2， dxn，y0lt;ε2，
于是由三角形不等式，当ngt;N时
dx0，y0≤dxn，x0+dxn，y0lt;ε2+ε2=ε。
由于ε是任意的，所以dx0，y0=0， x0=y0。
2 设xn→x0n→∞，则εgt;0，存在N，当ngt;N时，dxn，x0lt;ε，选取K，使得当kgt;K时nkgt;N，则当kgt;K时，dxnk，x0lt;ε，即xnk→x0k→∞。
定理1。1。2设X，d是距离空间，则
|dx，y-dx1，y1|≤dx，x1+dy，y1， x，y，x1，y1，∈X。
证由三角形不等式
dx，y≤dx，x1+dx1，y≤dx，x1+dx1，y1+dy1，y，
由于x，y与x1，y1的地位是对称的，所以
|dx，y-dx1，y1|≤dx，x1+dy，y1。
由定理1。1。2可以看出，在距离空间中，当xn→x0及yn→y0n→∞时，必有dxn，yn→dx0，y0n→∞。
我们看一看前面列举的几个具体的距离空间中收敛性的涵义。
在空间Rn中，易见空间的收敛就是按坐标收敛。
在C[a，b]中，如果dxn，x0→0n→∞，即
maxa≤t≤b|xnt-x0t|→0n→∞，于是对任意的εgt;0，存在N，当ngt;N时，t∈[a，b]，有即函数列{xnt}在[a，b]上一致收敛于函数x0t。 反之，如果{xnt}一致收敛于x0t，则dxn，x0→0n→∞。
总之，C[a，b]的收敛是函数列在[a，b]上的一致收敛，大家都知道这种收敛在分析中有重要的作用。
我们证明空间S中的收敛等价于函数列依测度收敛。
设xn→x0n→∞，则对于任意的σgt;0，由于
dxn，x0=∫E|xnt-x0t|1+|xnt-x0t|dt≥∫{t∈E:|xnt-x0t|≥σ}|xnt-x0t|1+|xn
t-x0t|dt≥σ1+σmt∈E:|xnt-x0t|≥σ。
所以，当n→∞时，mt∈E:|xnt-x0t|≥σ→0，即{xn}在E上依测度收敛于x0t。
反之，设{xnt}在E上依测度收敛于x0t，则对εgt;0及σgt;0，由于
dxn，x0=∫E|xnt-x0t|1+|xnt-x0t|dt≤σ1+σmE+∫{t∈E:|xnt-x0t|≥σ}|
xnt-x0t|1+|xnt-x0t|dt≤σ1+σmE+m{t∈E:|xnt-x0t|≥σ}，
先选取σ，使σ1+σmElt;ε2，再对上述σ选取自然数N，使当ngt;N时，m{t∈E:|xnt-x0t|≥σ}lt;ε2。 于是当ngt;N时，dxn，x0lt;ε2+ε2=ε，即dxn，x0→0 n→∞。
最后，在离散空间D中，{xn}收敛于x0，当且仅当，从某一下标开始{xn}为常驻列{x0}。
事实上，如果xn→x0n→∞，取ε=12，则存在N，当n≥N时，dxn，x0lt;12，由此当n≥N时，xn=x0，反之显然。"me∞，考虑e上几乎处处有穷的可测函数全体，其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元。
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