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《B？cklund 变换和Darboux 变换——几何与孤立子理论中的应用》适合应用数学和数学物理方面的高年级本科生和研究生阅读.
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《B？cklund 变换和Darboux 变换——几何与孤立子理论中的应用》大量介绍了曲面的经典微分几何同现代孤立子理论的联系. 对于从十九世纪和二十世纪初著名的几何学家如Bianchi, B？cklund,Eisenhart关于保持某些特殊类型的曲面的几何性质不变的变换,作者提供了大量文献.《B？cklund 变换和Darboux 变换——几何与孤立子理论中的应用》以大量的篇幅介绍了B？cklund-Darboux变换？它们的非线性叠加原理以及在孤立子理论中的重要性.《B？cklund 变换和Darboux 变换——几何与孤立子理论中的应用》的宗旨是介绍这些变换以及曲面的经典微分几何同孤立子理论中的非线性方程的联系.从几何角度来看, 孤立子方程来源于在B？cklund-Darboux变换下不变的各种曲面的Gauss-Mainardi-Codazzi方程组.
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| 目錄：
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目录
译者序
序言
前言与摘要
第1章 伪球曲面经典Backlund变换和Bianchi方程组1
1.1 双曲曲面的Gauss-Weingarten方程组伪球曲面和sine-Gordon方程1
1.2 Sine-Gordon方程的经典Backlund变换5
1.3 Bianchi的可换性定理和多孤立子解的生成10
1.3.1 Bianchi的可换性定理10
1.3.2物理应用12
1.4伪球孤立子曲面和呼吸子13
1. 4.1伪球面14
1.4.2伪球螺旋面16
1.4.3双孤立子曲面17
1.4.4呼吸子18
1.4.5静态呼吸子曲面19
1.5平行曲面和类Weingarten曲面上的诱导Backlund变换21
1. 5.1常平均曲率曲面和Bonnet定理22
1.5.2 -个导出的Backlund变换23
1.6 Bianchi方程组及其自Backlund变换24
1. 6.1双曲曲面及其球表示25
1.6.2双曲曲面的个Backlund变换27
1.6.3 Bianchi方程组30
第2章 曲线和曲面的运动及其同孤立子的联系36
2.1常挠率和常曲率曲线的运动以及同sine-Gordon方程的联系36
2 .1.1常挠率不可伸长曲线的运动37
2.1.2常曲率不可伸长曲线的运动38
2.2 sine-Gordon方程的个2x2线性表示39
2.3伪球曲面的运动Weingarten方程组及其Backlund变换42
2.3.1非简谐格点模型的连续极限45
2.3.2 Weingarten方程组-45
2.3.3 Backlund变换46
2.4 mKdV方程运动曲线与孤立子曲面表示以及孤立子Weingarten方程组52
2.4.1 mKdV方程52
2.4.2 Dini曲面的运动53
2.4.3三元正交Weingarten系统56
第3章 Tzitzeica曲面共轭网与Toda格59
3.1 Tzitzeica曲面及其同可积气体动力学方程组的联系59
3.1.1 Tzitzeica方程和仿射球方程59
3.1.2气体动力学中的仿射球方程64
3.2 Tzitzeica曲面的构造及其Backlund变换69
3.3 Laplace-Darboux变换二维Toda格和共轭网76
3.3.1 Laplace-Darboux变换 76
3.3.2 Laplace-Darboux变换的重复作用和二维roda格77
3.3.3二维Toda格它的线性表示和Backlund变换79
3.3.4共轭网82
第4牵 Hasimoto曲面与非线性Schrodinger方程它们的几何及相关的
孤立子方程84
4.1从法向运动与非线性Schrodinger方程以及Heisenberg自旋方程85
4.1.1单孤立子NLS曲面86
4.1.2几何性质89
4.1.3 Heisenberg自旋方程91
4.2 Pohlmeyer-Lund-Regge模型同SIT方程组和SRS方程组的联系
以及同NLS方程的相容性92
4.2.1 Pohlmeyer-Lund-Regge模型93
4.2.2与SIT方程组的联系94
4.2.3与SRS方程组的联系96
4.2.4 Maxwell-Bloch方程组与NLS方程的相容性97
4.3 NLS方程的几何与自Backlund变换99
4.3.1非线性Schrodinger方程103
4.3.2 自Backlund变换106
第5章 等温曲面Calapso方程和Zoomeron方程111
5.1等温曲面的Gauss-Mainardi-Codazzi方程组Calapso万程以及对偶等温曲面111
5.2R2中等温曲面的几何114
5.2.1共轭坐标和正交坐标115
5.2.2等温曲面116
5.2.3特殊情形以及推广117
5.3向量Calapso方程组及其标量Lax对119
5.3.1 向量Calapso方程组119
5.3.2标量Lax对120
5.3.3约化122
5.4基本变换123
5.4.1平行网与梳状变换123
5.4.2径向变换124
5.4.3基本变换124
5.5等温曲面的Backlund变换126
5.5.1共轭坐标系的基本变换126
5.5.2 Ribaucour变换128
5.5.3等温曲面的Backlund变换130
5.6可换性定理及其几何意义132
5.6.1共轭网的可换性定理与平面性132
5.6.2正交共轭网的可换性定理与共圆性134
5.6.3等温曲面的可换性定理与常交比性136
5.7向量Calapso方程组显式的可换性定理139
5.7.1 Ribaucour变换与Moutard变换的关系-139
5.7.2可换性定理140
5.8特殊的等温曲面单孤立子曲面与四次圆纹曲面142
5.8.1单孤立子等温曲面142
5.8.2 由Moutard变换生成的族解144
5.8.3 Dupin四次圆纹曲面148
第6章 孤立子曲面的般性质以及规范变换和反向变换的作用153
6.1 AKNS 2×2谱问题154
6.1.1伪球曲面的位置向量154
6.1.2 su2线性表示及其相关的孤立子曲面：rq时的AKNS系统157
6.2 NLS特征函数梯队几何性质和Miura变换163
6.2.1 作为特征函数方程解的孤立子曲面的位置向量163
6.2.2 Serret-Frenet方程和NLS梯队166
6.3反向变换和圈孤立子167
6.3.1反向变换和圈孤立子方程167
6.3.2圈孤立子170
6.4 Dym梯队mKdV梯队KdV梯队及其联系172
6.4.1反向变换下的不变性以及类平面曲线运动173
6.4.2 Dym梯队mKdV梯队和KdV梯队175
6.4.3可换性定理177
6.4.4 mKdV梯队的几何导出-179
6.5常曲率曲线的从法向运动和推广的Dym曲面181
6.5.1常曲率曲线182
6.5.2推广的Dym曲面和su2线性表示185
6.5.3 CC理想表示-188
6.5.4推广的Dym方程和m2KdV方程的矩阵Darboux变换和Backlund变换191
6.5.5孤立子曲面193
6.6常挠率曲线的从法向运动与推广的sine-Gordon方程组196
6.6.1 推广的sine-Gordon方程组196
6.6.2基本形式和su2线性表示197
6.6.3 Backlund变换198
6.6.4 Bianchi变换的类似和对偶曲面199
第7章 Backlund变换与Darboux短阵的联系202
7.1伪球曲面和非线性Schrodinger曲面的联系202
7.1.1伪球曲面202
7.1.2 NLS曲面206
7.2 AKNS系统的Darboux矩阵诱导Backlund变换以及常距离性质210
7.2.1基本矩阵Darboux变换211
7.2.2 su2约束下的不变性213
7.2.3满足r=-q的AKNS梯队及其基本Backlund变换214
7.2.4常距离性质217
7.3 Darboux变换的重复作用及般的可换性定理219
7.3.1矩阵Darboux变换的重复作用219
7.3.2 -般的可换性定理222
第8章 Bianchi方程组和Ernst方程组它们的Backlund变换和可换性定理227
8.1 Bianchi曲面和Sym-Tafel公式的应用227
8.2非等谱线性表示的矩阵Darboux变换229
8.3 su2约束的不变性和距离性质231
8.4广义相对论中的Ernst方程232
8.4.1线性表示233
8.4.2对偶“Ernst方程”234
8.5 Ehlers变换和Matzner-Misner变换237
8.6 Neugebauer变换和Harrison Backlund变换238
8.7 Ernst方程的矩阵Darboux变换245
8.8 Ernst方程及其对偶方程的可换性定理以及同Bianchi方程的联系248
第9章射影极小曲面和等温渐近曲面252
9.1 射影微分几何中Gauss-Mainardi-Codazzi方程组的类比252
9.2 射影极小曲面Godeaux-Rozet曲面和Demoulin曲面254
9.3线性表示257
9.3.1 Wilczynski四面体和4x4线性表示257
9.3.2 Pliicker对应和6x6线性表示258
9.4作为周期Toda格的Demoulin方程组261
9.5射影极小曲面的Backlund变换263
9.5.1 so33线性袁示的不变性264
9.5.2 s4线性表示的不变性269
9.6单孤立子Demoulin曲面270
9.7等温渐近曲面和静态mNVN方程274
9.7.1静态mNVN方程275
9.7.2静态NVN方程276
9.8等温渐近曲面的Backlund变换280
9.8.1 mNVN方程的不变性280
9.8.2 NVN方程的不变性和等温渐近曲面的Backlund变换282
附录Asu2与so3的同构285
附录BCC-理想288
附录C 传记293
参考文献296
补充参考文献318
致谢322
《现代数学译丛》已出版书目323
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第1章 伪球曲面，经典Backlund变换和Bianchi方程组
最早对负常全曲率曲面进行的显式研究可以追溯到1838年Minding的工作[261]，他的重要定理指出，具有相同曲率的这些曲面之间是等距的，即可使得它们上面的点建立起保持度量的一一对应.后来，Beltramj[281称这类曲面为伪球曲面并使之与Lobachevski的非欧几何建立了重要的联系.
1862年，Bour[541研究了渐近坐标下伪球曲面的Gauss方程的相容性条件，并从中首次导出了sine-Gordon方程.1879年，Bianchj[31]在他取得任教资格的论文中指出了伪球曲面的几何构造.Backlund[21]于1883年引入了一个关键性的参数使得可以构造一系列伪球曲面，推广了Bianchi的工作.然后Bianchj[321又于1885年将伪球曲面的Backlund变换与sine-Gordon方程的一个漂亮的变换联系起来，这就是sine-Gordon方程的Backlund变换，它包含了以前Darboux已建立的一个不含参数的结果[94].Backlund变换在孤立子理论中有重要的应用，在它和与之相关的Darboux交换[92]下的不变性出现于所有孤立子方程中.Bianchi与Darboux对曲面几何的贡献，特别是Backlund变换保持某些几何性质不变的特性后来被陈省身[77]？Sym[3851等研究，本书关心的主要就是Backlund变换和Darboux变换？它们的几何起源以及在现代孤立子理论中的应用.
1.1双曲曲面的Gauss-Weingarten方程组，伪球曲面和slne-Gordon方程
本节中，我们将伪球曲面放在一类更广泛的双曲曲面的框架下来研究，这类双曲曲面由Bianchi通过一个非线性系统给出[37].关于曲线和曲面微分几何的背景知识可以在标准的教科书，如do Carmo[1081或Struick[3521的书中找到，后一本书中有着关于历史的丰富材料，
我们用r=ru，v表示R3中曲面∑上一点P的位置向量，那么向量ru在P点与∑相切，当这两个向量线性无关时，
决定了∑的单位法向量.∑的第一基本形式和第二基本形式分别为
其中
Bonnet的一个经典结果[53]表明这六个量{E，E G;e，9在除了允许作刚体运动外唯一决定了曲面∑.
∑的Gauss方程组1[352]是
Weingarten方程组是
其中
1.4式中的是Christoffel记号，它们由
给出，其中是
中的系数，
这里，我们用了Einstein求和约定，即对重复指标求和.
将相容性条件应用于线性的Gauss方程组1.4就得到非线性的Mainardi-Codazzi方程组
或等价的方程组
以及Gauss的“绝妙定理”Theorema egregium.由此“绝妙定理”，Gauss全曲
可以仅用E，F，G表示出来，在Liouville表示下，有
从物理观点来看，Gauss的“绝妙定理”表明曲面∑在无伸缩地弯曲时全曲率保持不变，
如果∑的全曲率为负，即∑是一个双曲曲面，那么可以取∑上的渐近曲线作
为参数曲线.这时，e=g-0，Mainardi-Codazzi方程组1.10成为
参数曲线之间的夹角u满足
由于E，GO，可以不妨设
这时第一？第二基本形式成为
Mainardi-Codazzi方程组1.11成为
Gauss-Mainardi-Codazzi方程组1.21-1.23是一组非线性方程组，它最初由Bianchj[37]建立.它在孤立子理论中的重要性先后被Cenkl[741和Levi，Sym[2341注意到，他们添加一个约束条件Pu？-0使得系统变为孤立子系统.后面将讨论这个问题.
在为常数且.如果在∑上取渐近曲线的弧长为参后.第一？第二基本形式成为而1.23式成为著名的方程
到二十世纪，sine-Gordon方程醒目地出现在物理学的许多领域中见文献[311]. Seeger等[201， 345， 346]首先发现sine-Gordon方程的经典Backlund变换在晶体位错理论中有重要的应用.在Frenkel和Kontorova的位错理论框架下，他们用经典Backlund变换得到了“特征运动”的叠加，对现在所称的带有纽结型位错的呼吸子的相互作用既作了理论分析，又绘出了它们的图像[345].Zabusky和Kruskal[3891于1965年对Korteweg-de Vries方程所发现的典型的孤立子特性，包括在相互作用后速度与形状保持不变以及相移的存在，在1953年的这篇重要文章中对sine-Gordon方程都已提及.z在这以后，伪球曲面的几何同其他孤立子方程的联系相继被发现[26，78，79，141， 190， 292， 294， 321， 363].
Lamb[223]和Barnard[231发现，sine-Gordon方程Backlund交换的非线性叠加原理可应用于超短光脉冲的传输理论中，特别是，他们从理论上得到了Gibbs和Slusher[1501在实验中发现的铷蒸气中孤立子的分裂现象.经典Backlund变换也在长Josephson结的理论中得到了应用[344].
前面给出了研究Backlund变换以及它在sine-Gordon方程上的具体应用的历史原因，其中既有理论上的，又有应用上的.下面将看到，这个Backlund变换事实上对应于由Bianchi和Lie给出的一个变换的共轭作用，这个Lie对称在Bianchi变换中引入了一个关键的Backlun，d参数，使得变换可以反复进行，从而生成物理上所称的多孤立子解.于是，Backlund参数有了重要的物理解释.
1.2 Sine-Gordon方程的经典Backlund变换
Sine-Gordon方程的Backlund变换最早在伪球曲面上用简单的几何方法构造出来，对于初始伪球曲面∑上的一点P，按下面要介绍的Backlund变换方法作出线段PP''，使得PP''的长度为常值并且PP''与∑在P点相切，那么当P取遍∑时，P7全体构成与∑的全曲率相同的另一个伪球曲面∑7.这个过裎可以反复进行下去，生成同初始种子曲面∑有相同全曲率的一系列伪球曲面.
∑是具有全曲率的伪球曲面，∑上的一点用位置向量表示，这里v是渐近曲线的弧长参数.在这个参数化下和N都是单位向量，不过ru和r不一定正交.因此，更方便的方法是引入一个标准正交向量组{A，B，C，这里从Gauss-Weingarten方程组1.26，1.27得到A，B，C关于u，v的导数，即这个线性方程组相容的充要条件是u满足sine-Gordon方程1.25.
现在，我们可以构造一个新的伪球曲面E7，它的位置向量设为u，v也是渐近曲线的弧长参数.于是∑7具有如1.241式的第一基本形式，特别地，剩用1.30和1.29式，我们有
于是，条件1.31给出
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