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| 內容簡介： |
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《随机微分方程基本理论及应用》从概率论和Brown运动的基本概念出发，介绍了It？随机积分和关于Poisson过程随机积分的数学理论，相关随机微分方程强解的存在唯一性定理，随机微分方程理论在*优停时、传染病模型、期权定价等方面的应用以及随机微分方程基本的数值求解方法.
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| 目錄：
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目录前言 第1部分 概率论与 Brown 运动基础 第1讲 引言 3 1.1 科学研究的基本方法 3 1.2 利率 4 1.3 期权及其定价问题 5 1.4 随机微分方程 7 1.5 Black-Scholes 方程的推导 8 1.6 历史概述 9 第2讲 概率论公理 11 2.1 随机性的本质 11 2.2 概率空间 11 2.3 例子 13 2.4 Bertrand 悖论 16 第3讲 随机变量 19 3.1 随机变量的概念和例子 19 3.2 关于一般测度的积分 21 3.3 随机变量的期望、方差及其概率分布函数和概率密度函数 29 第4讲 *立性、条件期望 (一) 33 4.1 随机变量的*立性 33 4.2 *立的随机变量的性质 35 4.3 条件期望 37 第5讲 条件期望 (二)、鞅 41 5.1 条件期望的几何定义 41 5.2 条件期望的性质 42 5.3 鞅的定义 44 5.4 鞅不等式 45第6讲 基本概率方法 49 6.1 Chebyshev 不等式 49 6.2 Borel-Cantelli 定理 49 6.3 特征函数 51 6.4 大数定律 52 6.5 中心极限定理 55 第7讲 Brown 运动的概念 57 7.1 宏观描述: 扩散 57 7.2 微观描述: 随机游走 59 7.3 Brown 运动的定义及其有限维分布 62 第8讲 Brown 运动的基本性质 65 8.1 白噪声 65 8.2 高维 Brown 运动 67 8.3 Brown 运动的鞅和 Markov 性质 68 第9讲 Brown 运动的轨道性质 71 9.1 Brown 运动轨道的 H.lder 连续性 71 9.2 处处变差无界性 74 第10讲 Brown 运动的构造 78 10.1 Haar 函数和 Schauder 函数 78 10.2 Brown 运动的构造 81 第2部分 随机积分和随机微分方程 第11讲 Paley-Wiener-Zygmund 随机积分 89 11.1 光滑被积函数的 Paley-Wiener-Zygmund 随机积分 89 11.2 稠定有界线性算子的保范延拓 91 11.3 Paley-Wiener-Zygmund 随机积分的定义 92 第12讲 *WdW 94 12.1 平方变差 94 12.2 Riemann 和的 L2 收敛性 97 第13讲 It？随机积分及其性质 102 13.1 非预测 σ-域流和相适应随机过程 102 13.2 简单随机过程的 It？积分 103 13.3 一般随机过程的 It？积分 10613.4 It？不定积分 108 第14讲 It？乘积法则和 It？链式法则; Fokker-Planck 方程 112 14.1 It？乘积法则 112 14.2 It？链式法则 116 14.3 Fokker-Planck 方程 118 第15讲 多元 It？随机积分和随机微分方程 121 15.1 多元 It？随机积分 121 15.2 多元 It？乘积法则和 It？链式法则 122 15.3 随机微分方程的概念 124 第16讲 用 It？法则求解随机微分方程 127 16.1 线性随机微分方程的例子和解的公式 127 16.2 一类特殊形式的非线性随机微分方程的可解性 134 16.3 变量替换求解非线性随机微分方程 136 第17讲 随机微分方程初值问题强解的唯一性和存在性 137 17.1 唯一性 137 17.2 存在性 139 17.3 连续依赖性 146 第18讲 线性随机微分方程 148 第19讲 Stratonovich 随机积分 153 19.1 白噪声的光滑逼近 153 19.2 Stratonovich 随机积分和转换公式 154 第20讲 关于 Poisson 过程的随机积分 158 20.1 Poisson 过程及其随机积分 158 20.2 链式法则 160 20.3 Poisson 随机积分的鞅的性质 161 20.4 定理 1 的证明 164 第21讲 Poisson 过程驱动的随机微分方程 171 21.1 解的存在性和唯一性定理 171 21.2 线性 Poisson 随机微分方程 177 第3部分 随机微分方程的应用及数值计算 第22讲 停时和 Feynman-Kac 公式 183 22.1 停时 183 22.2 停时作为积分限的 It？随机积分 186 22.3 带停时的 It？公式 186 22.4 Feynman-Kac 公式 188 第23讲 *优停时与动态规划 192 23.1 *优停时问题 192 23.2 价值函数的求解 193 23.3 利用价值函数求解*优停时 195 第24讲 传染病的随机微分方程模型 197 24.1 确定性模型 197 24.2 带随机效应的传染病模型 200 第25讲 期权定价理论 203 25.1 期权的定义、分类和定价问题 203 25.2 Black-Scholes 公式 204 25.3 Black-Scholes 公式的推广: 支付红利情形 209 25.4 Black-Scholes 方程的数值求解: 差分格式 211 第26讲 随机微分方程的数值求解方法 215 26.1 显式数值方法 215 26.2 隐式数值方法 218 26.3 Brown 运动及随机微分方程的数值模拟 219 参考文献 222 索引 224
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